线性代数 - 映射

单射(Injective)

函数f 是单射当且仅当若f(x) = f(y) 则 x = y。

单射是指对于任意两个不同的向量，如果它们在映射下的像相同，则它们本身也必须相同。换句话说，单射是“一对一”的映射。

例：考虑一个矩阵A，如果存在向量x和y，使得Ax=Ay且x≠y，则矩阵A是单射。在实践中，单射常用于判断一个映射是否是一一对应的。 例：f(x) = x+5 从实数集(R)到(R)是个单射函数。

满射(Surjective)

函数 f（从集 A 到集 B）是满射当且仅当在 B 中的每个 y 存在至少一个在 A 中的 x 满足 f(x) = y， 就是说， f 是满射当且仅当 f(A) = B。

值域里的每个元素都至少有一个定义域元素与之对应。

满射是指对于任意一个向量，存在另一个向量在映射下的像是它。换句话说，满射是“一对多”的映射。

例：考虑一个矩阵B，如果对于任意向量y，都存在向量x使得Bx=y，则矩阵B是满射。在实践中，满射常用于判断一个映射是否覆盖了整个目标空间。

例：函数 f(x) = 2x 从自然数集(N)到非负偶数是个满射函数。

但 f(x) = 2x 从自然数集(N)到(N)不是满射，因为没有一个自然数(N)可以被这个函数映射到 3。

双射(Bijective)

函数 f（从 A 集到 B 集）是双射，若每个 B 中的 y 都有唯一的一个（而没有另外一个） A 集中的 x 满足 f(x) = y

或者说：当单射和满射都成立时，f 是双射。

双射是指既是单射又是满射的映射。换句话说，双射是“一对一”和“一对多”的映射。

例：考虑一个矩阵C，如果存在向量x和y，使得Cx=y且x≠y，同时对于任意向量y，都存在向量x使得Cx=y，则矩阵C是双射。在实践中，双射常用于证明两个向量空间等价。

例：函数 (f(x) = x^2) 从正实数到正实数是单射，也是满射，所以它是双射。

但从实数集(R)就不是，因为f(2)=4，并且f(-2)=4

同构(Isomorphism)

同构是指两个向量空间之间存在一个双射映射。同构的两个向量空间具有相同的维度和性质。

例：考虑两个矩阵D和E，如果存在一个双射映射使得Dx=Ex对于所有向量x成立，则矩阵D和E是同构的。在实践中，同构常用于比较两个不同向量空间之间的关系。

同态(Homomorphism)

同态是指两个矩阵之间存在一个线性映射，使得它们的乘积等于另一个矩阵与该线性映射的乘积。

例：考虑两个矩阵F和G，如果存在一个线性映射使得Fx=Gx对于所有向量x成立，则矩阵F和G是同态的。在实践中，同态常用于研究矩阵之间的关系和性质。

仿射(Affine)

仿射是指一个向量空间中的一个向量加上另一个向量空间的线性组合。换句话说，仿射是一种特殊的线性映射。

例：考虑两个向量空间U和V，如果存在一个线性映射使得Ux=Vx+b对于所有向量x和b成立，则该线性映射是仿射的。在实践中，仿射常用于研究几何变换和优化问题。