随机变量

随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。

随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。

随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。

例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。

基本类型

按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：

• 离散型

离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。

离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。

例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。

• 连续型

连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。

有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。

例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。

数学期望(mathematic expectation)

• 离散型

如果 X 是离散随机变量，数学期望是可能取的值的加权平均。简单来说就是所有值的算术平均。

• 连续型

如果 X 是具有概率密度函数 f(x) 的连续随机变量，那么在上均匀分布的随机变量的期望值正是区间的中点。

记为：E(X)

方差(variance/deviation Var)

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。

S² 为样本方差，X 为变量，x̅ 为样本均值，n 为样本例数

记为：D(X), DX, Var(X)

方差的计算公式有个令人迷惑的地方：

总体时分母是 N，样本时分母是 n-1。

实际上，求总体方差时，每个出现的概率为 N 分之一，因为每一项都是自由变换的。而样本是除以 (n-1) 实际上也是乘的概率，样本的 n 项其实如果确定了 (n-1) 项第 n 项就百分百确定，所以每一项出现的概率只有 (n-1) 分之一。方差说的是概率，不是有多少个。

标准差(Standard Deviation)

也称为均方差，为方差的算术平方根。标准差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

协方差(Covariance)

协方差是一个反映两个随机变量相关程度的指标。从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。

Cov(X,Y) = E[(X-E[x])(Y-E[Y])]

比如，要研究3种肥料对苹果产量的实际效应，而各棵苹果树头年的“基础产量”不一致，但对试验结果又有一定的影响。要消除这一因素带来的影响，就需将各棵苹果树第1年年产量这一因素作为协变量进行协方差分析，才能得到正确的实验结果。

协方差能反映两个随机变量的相关程度（协方差大于0的时候表示两者正相关，小于0的时候表示两者负相关），但是协方差值的大小并不能很好地度量两个随机变量的关联程度，例如，现在二维空间中分布着一些数据，我们想知道数据点坐标X轴和Y轴的相关程度，如果X与Y的相关程度较小但是数据分布的比较离散，这样会导致求出的协方差值较大，用这个值来度量相关程度是不合理的。

皮尔逊相关系数(Pearson Correlation Coefficient)

Pearson 相关系数是用协方差除以两个变量的标准差得到的。

pearson 是一个介于 -1 和 1 之间的值，当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于 1 或 -1。

其实主要问题在于 cov(kx, y)=k cov(x,y)，量纲对协方差的影响很大，因此，才要将x，y标准化，皮尔逊相关系数其实就是标准化后的协方差。 适用条件：

• 两个变量分别服从正态分布；（当数据量够大时，譬如 n>30 ，根据中心极限定理，可以假定服从正态分布）
• 两个变量的标准差不为0（通常都满足）；

显著性检验：

通常使用 t 检验来验证 Pearson 相关系数的显著性

t 检验

亦称 student t 检验（Student's t test），主要用于样本含量较小（例如n<30），总体标准差 σ 未知的正态分布。t 检验是用 t 分布理论来推论差异发生的概率，从而比较两个平均数的差异是否显著。它与 f 检验、卡方检验并列。