Π

π 的定义：

π(圆周率)是圆的周长与直径的比值，等于圆形之面积与半径平方之比，sinx=0 的最小正数

π 的简史

1. 四千年前，巴比伦人用 3+ 1/8 作为圆周率， 同时期的埃及人用 4-(8/9)^2 作为圆周率
2. 公元前三世纪，古希腊科学家阿基米德首先采用计算的方法，得出 π 可能是 3.14
3. 中国古算书《周髀算经》（约公元前 2 世纪）的中有“径一而周三”的记载，用 3 作为圆周率
4. 公元五世纪，中国数学家祖冲之把 π 算到了 3.1415926 到 3.1415927 之间
5. 公元 15 世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西 (Al-Kāshī,1380？– 1429)，用几何的方法，计算到了小数点后 16 位
6. 1666 年, 牛顿计算到了小数点后的 15 位，但这个公式的收敛速度较慢
7. 1706 年，英国数学家和天文学家约翰·梅钦(John Machin) 发明了一个用于计算 π 值的公式，收敛速度非常快
8. 1873 年, William Shanks 使用梅钦公式用了几年时间，计算到了小数点后的 707 位，还刻到了其墓碑上。但 50 多年后(20 世纪 30 年代)，被新西兰数学家发现第 528 位有一个计算错误
9. 1949 年，ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer, 电子数字积分计算机）计算机用了 70 个小时，计算到了小数点后的 2037 位
10. 2021 年 8 月 17 日，瑞士研究人员使用一台超级计算机，历时 108 天，计算到小数点后 62.8 万亿位
11. 2021 年 10 月 14 日，谷歌使用 128 个 VCPU 和 864 GB RAM，515 TB 存储，历时近 158 天，计算到小数点后 100 万亿位
12. 2023 年 3 月 1 日，阿奔使用 3 个 Ampere A1 VCPU 和 18 GB RAM，57 GB 存储，历时近 1 秒，计算到小数点后 1 万位，后四位数字：5678

计算公式

计算 π 值的主要公式有：

• 梅钦(John Machin)公式(1706)
• 拉马努金(Srinivasa Ramanujan)公式(1914)
• BBP (David Bailey / Peter Borwein / Simon Plouffe)公式(1996)

梅钦(John Machin)公式

π = 16 × arctan(1/5) - 4 × arctan(1/239)

其 Taylor 级数展开式为：

梅钦公式的 Python 实现

n = 100
t = n+10
b = 10**t
x1 = b*4//5
x2 = b // -239
s = x1+x2
n *= 2
for i in range(3, n, 2):
    x1 //= -25
    x2 //= -57121
    x = (x1+x2) // i
    s += x

pai = s*4
pai //= 10**10

print(pai)

结果:

3.1415 9265 3589 7932 3846 2643 3832 7950 2884 1971 6939 9375 1058 2097 4944 5923 0781 6406 2862 0899 8628 0348 2534 2117 0679